- Tubelator AI
- >
- Videos
- >
- People & Blogs
- >
- Calculus-II: Kuvvet Serilerinin Yakınsaklık Aralığı ve Yarıçapı
Calculus-II: Kuvvet Serilerinin Yakınsaklık Aralığı ve Yarıçapı
Kuvvet serilerinin yakınsaklık aralığı ve yarıçapı hakkında detaylı bilgi. İngilizce karşılığı Interval and Radius of Convergence olan konuya örneklerle açıklık getiriliyor. Kuvvet serilerinin hangi değerlerde yakınsak olduğu ve yarıçapının ne olduğu üzerinde duruluyor.
Install Tubelator On Chrome
Video Summary & Chapters
No chapters for this video generated yet.
Video Transcript
Kuvvet serilerinin yakınsaklık, aralığı ve yarı çapı.
İngilizcesi Interval and Radius of Convergence.
Kuvvet serilerinin ne olduğunu bir önceki videomuzda konuşmuştuk.
Burada bir örneğimizi hazırlamış durumdayım zaten.
Kuvvet serilerinin yakınsaklık, aralığı ve yarı çapı denilince ne kastediliyor bunları konuşacağız.
Burada bir kuvvet serisi görmekteyiz.
Burada bir kuvvet serisi oluşuyor.
X'li kısım kuvvet serisi olması neden olan bölüm.
Burada merak edilen şey x'in hangi değerleri için hangi değerleri için
Bu kuvvet serisi yakınsak olur.
Bunu belirlemek için ne yapacağımızı tamamen örnek üzerinde anlatacağım.
Buradaki derdimiz bir kuvvet serisinin x'in hangi değerleri için yakınsak olacağını tespit etmektir.
Yakınsak olduğu değer aralığını bulduğumuzda ise geriye kalan her yer bıraksak olur.
İkisinin değerleri için.
Yakınsaklık yarı çapırıda soru üzerinde konuşacağız.
Basit bir kavramdır o da.
Şimdi buradaki bu konuyu teorik olarak anlatmaktan ziyade bir örnek üzerinde yapmak çok daha öğreticidir.
Sorumuza bakarsak bir kuvvet serisi verilmiş.
Bunun kuvvet serisi.
Kuvvet serisi olmasını sağlayan kısım şuradaki x artı 3 üzeri en olan kısmıdır.
Kuvvet serisinin yakınsaklık aralığını bu interval of convergence ve yarı çapını
yani yakınsaklık yarı çapını radius of convergence bulunur.
Şimdi birinci adım bu tarz bir soruyla karşılaştığımızda oran testi ile başlarız.
Nedeni oran testini bilmeyenler dönüp oran testinin videosunu izlerlerse bu soruya başlamadan
önce onlar açısından daha faydalı olur.
Biliyoruz var sayıyoruz şu an oran testi içinde üstlü ifade barındıranların yakın
Kuvvet serileri de içlerinde üstlü kısa barındırdığı için
Oran testi ile mutlaka çözülebilir.
Oran testi bize ne söylüyordu onu bir hatırlayalım.
Limit ne zaman yakınsak olur oran testi en sonsuza giderken bu serinin içindeki tüm bütüne an dersek an artı bir bölü an küçük bir olduğu durumda oran testi yakınsaklığın
Bu limitin sonucu birden küçük çıkıyorsa o seri yakınsaktır.
Şimdi bizde burada bu serinin x'in hangi değerleri için birden küçük çıktığını
arayacağız ve yakınsaklık aralığına bu şekilde gideceğiz ve başlıyoruz şimdi.
Limit, en sonsuza giderken mutlak değer içinde...
A n artı bir diyoruz. Buradaki bütün ifadelerde n gördüğümüz yere n artı bir koyuyoruz.
Eksi bir üzeri n artı bir çarpı n artı bir bölü dört üzeri n artı bir çarpı x artı üç üzeri n artı bir bölü a n yani bunun tamamının aynısını yazıyoruz.
Bu şekilde çalışıyoruz.
Bunun sonucunun birden küçük çıktığı yerler yakınsak olduğu yerlerdir.
Şimdi kalemimizin rengini değiştirerek devam edelim.
4 üzeri olan kısımlar mutlak değer için aldığımız için mutlak değer onları her türlü pozitif
e çevirecek onlar gitti onları atıyoruz direkt 4 üzeri enle 4 üzeri n artı 1'i sadeleştirirsek
burada 4 kalır x artı 3 üzeri enle x artı 3 üzeri n artı 1'i sadeleştirirsek burada x artı 3
En son kalanı yazacak olursak limit en sonsuza giderken burada n artı bir bölü 4 çarpı
x artı 3 kaldı yani n artı bir çarpı x artı 3 bölü 4 kaldı böyle aşağıda ise
Sadece n kaldı.
Mutlak delik.
Bu n, 1 bölen diye döndüğünde, 4'ün yanına gelir.
Limit n.
Sonuçta x'in x'i sonsuza giderken, n artı bir çarpı x artı üç bölü dörtten sonucuna ulaşırız.
Küçük bir.
