- Tubelator AI
- >
- Videos
- >
- People & Blogs
- >
- Harmonic Series in Calculus-II: Understanding Telescoping Series
Harmonic Series in Calculus-II: Understanding Telescoping Series
Learn about telescoping series, its concept, and properties in Calculus-II. Explore how terms cancel each other out infinitely in a series, making it a telescoping series for further comprehension.
Install Tubelator On Chrome
Video Summary & Chapters
No chapters for this video generated yet.
Video Transcript
Teleskopik seriler ve özellikleri
İngilizcesi Telescoping Series
Bu videomuzda teleskopik seri kavramı nedir?
ve teleskopik serilere ait ne gibi özellikler vardır? Bunları konuşacağız.
Öncelikle teleskopik seri kavramının ne olduğu ile başlayalım.
Bir seride
terimler
birbirini yok ederek sonsuza kadar devam ediyorsa
Bu serilere teleskopik seri denir.
Bir seride terimler birbirlerini
Şimdi bu yok etme kavramını örnekleri üzerinden daha iyi anlarız diye düşünüyorum.
Bir seride terimler birbirlerini sonsuza kadar yok ederek devam ediyorsa
Bu seriye teleskopik seri denir.
İsmine baktığımızda
Yine İngilizceden Türkçeye muhteşem bir çeviri görüyoruz.
Yani sokaktan birini çevirsek
Bunu
Türkçeye çevir desek hiç anlamına ne olduğuna bakmadan
Teleskopingmiş İngilizcesi
Türkçesi de teleskopik olsun der herhalde.
Ancak bu zekadaki birinin yapacağı çeviridir ki
bu şekilde Türkçeye de sokmayı başarmışlar.
Bu tarz çevirileri yapanları
yaşıyorlarsa bulup tebrik etmek lazım.
Neyse, şimdi
teleskopik seri örneğimize gelelim.
K
1'den sonsuza kadar
K'nın nereden başladığı önemli değil.
mesela
kökk-kökk-1
Bu serinin terimlerini yazmaya başlarsak
k yerine 1 koyduk
kök1-kök2 bu serinin ilk terimidir
artı
k-2 koyarsak
kök2-kök3
artı
k-3 koyarsak
kök3-kök4
Artı nokta nokta k yerine n koyarsak köken eksi köken artı bir artı nokta nokta sonsuza
kadar gider bu seriye baktığımızda terimlerine terimlerinin birbirini götürdüğü çok açık
Bir şekilde gözüküyor.
İşte biz bu tipteki serilere teleskopik seri diyoruz.
Bununla bu birbirini götürüyor.
Bununla bu birbirini götürüyor.
Bununla bir sonraki birbirini götürecek.
Bu şekilde birbirini götürme işlemi sonsuza kadar devam eden tipteki seriler teleskopik serilerdir.
Mesela,
Ardıçıklar hemen başlamak zorunda değil.
Video Summary & Chapters
No chapters for this video generated yet.
Video Transcript
Harmonik seriler. İngilizcesi Harmonik seriyiz.
Bu videomuzda Harmonik seri kavramının ne olduğunu konuşacağız.
Öncelikle şunu belirtmekte fayda var.
Harmonik seri, matematikçilerin klasik hastalıklarından birisi olan
her şeyi anlamlı anlamsız isimlendirme arayışının sonucu ortaya çıkmış bir seridir.
Iraksak serilerden birisine özel bir isim takılmıştır.
Bunu niye yapmışlar ona da geleceğiz az sonra önce bir serimizi görelim.
En birden sonsuza kadar bir bölü en serisi matematikte harmonik seri olarak isimlendirilir
Bu serinin terimleri yazacak olursak ilk terimi 1 artı 1 bölü 2
2 artı 1 bölü 3 artı nokta nokta böyle sonsuza kadar devam eder.
Bu serinin matematikçilerin ilgisini çekmesinin nedeni.
Bu seri ıraksak bir seridir.
Bunu sınavlarda karşımıza geldiğinde herhangi bir açıklama yapmaksızın.
1 bölü n bu seriyi gördüğümüzde bu harmonik seridir ve ıraksaktır diyebiliriz.
Tabi bunun ıraksaklığını ispatlamak için onlarca yol ile uğraşmıştır matematikçiler.
Çeşit çeşit ispatlama yöntemleri denemişlerdir bunun ıraksak olduğunu göstermek için.
Bundan zevk alırlar.
Neden zevk alırlar ben anlamadım açıkçası da.
Bu arayış oldukça yaygındır.
Bunu yeni ve farklı bir şekilde ıraksak olduğunu ispatlamak.
Yüzyıllardır bununla uğraşıyorlar.
Iraksak
Bunu net olarak bu şekilde bileceğiz. Bunun özelliği ne peki?
Terimleri
Çok yavaş büyüyerek Iraksaklığa yaklaşıyor.
Böyle bir özelliği var.
Diğer bir önemli tarafı
Harmonik diziler
a n eşittir
1 bölü n bu bir dizidir.
Bunun terimlerini yazacak olursak
1
1 bölü 2
1 bölü 3 bunları toplamıyoruz dizinin terimlerini yazıyoruz
1 bölü 4 böyle nokta nokta sonsuza gider
Bu diziyi yakınsak mı bıraksak mı diye baktığımızda limitine bakarak karar veriyorduk bunları hatırlayacak olursanız
limiten sonsuza giderken 1 bölü n'e baktığımızda
Bunun sonucu 0 eder
Sonuç bir sayı çıktığı için
Harmonik dizi, bu harmonik dizidir.
Burada yazmış olduğumuz kısım.
Bunun seri yapılmayan dizi biçiminde yazılmış halini harmonik dizi deriz.
İngilizcesi de harmonic sequence.
Seri toplam sembol içinde yazdığımızda ise bu harmonik seridir.
Harmonik dizi limitinin sonucu sıfır çıkıyor yani sayı çıktığı için yakınsaktır.
Harmonik seri ise bu terimler toplandığı zaman sonsuza ıraksadıkları için sonsuz değerde ulaştığı için bu toplamın sonucu bir sayıya yaklaşmadığı için ıraksaktır.
İşte matematikçinin ilgisini çektiği noktalardan birisi budur.
İsmili de, müzikte de karşılarına çıkmasından dolayı,
müzik kavramı olan harmoniden sanırım alıyor.
Yani, müziksel işlerin içinde de
